Question

已知拋物線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且橢圓過點(diǎn).
（1）求橢圓方程；
（2）點(diǎn)、是橢圓的上下頂點(diǎn)，點(diǎn)為右頂點(diǎn)，記過點(diǎn)、、的圓為⊙，過點(diǎn)作⊙ 的切線，求直線的方程；
（3）過橢圓的上頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點(diǎn)、，試問直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）或；（3）．

解析試題分析：（1）由題目給出的條件直接求解的值，則可求出橢圓方程；（2）當(dāng)所求直線斜率不存在時，其方程為，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時，可設(shè)其斜率為，寫出直線的點(diǎn)斜式方程，因?yàn)橹本�與圓相切，所以根據(jù)圓心到直線的距離等于圓的半徑可直接求得直線的斜率，從而得到方程；（3）由題意可知，兩直線的斜率都存在，設(shè)AP：，代入橢圓的方程從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出直線的方程，由方程可知當(dāng)時，恒成立，所以直線恒過定點(diǎn)．
試題解析：
(1)，則c=2, 又，得
∴所求橢圓方程為 ．
(2)M,⊙M:，直線l斜率不存在時，，
直線l斜率存在時，設(shè)為，
∴，解得，
∴直線l為或 ．
（3）顯然，兩直線斜率存在, 設(shè)AP：，
代入橢圓方程，得，解得點(diǎn)，
同理得，直線PQ：，
令x=0，得，∴直線PQ過定點(diǎn)．
考點(diǎn)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．