已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點,焦點在s軸上,它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若P為橢圓C上的動點,M為過P且垂直于x軸的直線上的點,=λ,求點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.
(Ⅰ)橢圓C的方程為;(Ⅱ)點M的軌跡方程為,其中.當時,點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分;當時,點的軌跡方程為,軌跡是兩條平行于軸的線段;當時,點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分;當時,點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓.
解析試題分析:(Ⅰ)由已知可設橢圓長半軸長及半焦距分別為,于是得由此可解得,進而可寫出橢圓的標準方程;(Ⅱ)首先設,其中.由已知及點在橢圓上可得,整理得.注意到,令,得.需按及討論.在的情形下,點M的軌跡為橢圓,這時需要注意是否要加上限制條件.
試題解析:(Ⅰ)設橢圓長半軸長及半焦距分別為,由已知得,所以橢圓的標準方程為. (5分)
(Ⅱ)設,其中.由已知及點在橢圓上可得.
整理得,其中. (7分)
(i)時,化簡得,所以點的軌跡方程為,軌跡是兩條平行于軸的線段. (9分)
(ii)時,方程變形為,其中,
當時,點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分; (11分)
當時,點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分; (13分)
當時,點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓. (15分)
考點:1.橢圓方程的求法;2.軌跡方程的求法.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線與橢圓有公共焦點,且橢圓過點.
(1)求橢圓方程;
(2)點、是橢圓的上下頂點,點為右頂點,記過點、、的圓為⊙,過點作⊙ 的切線,求直線的方程;
(3)過橢圓的上頂點作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點、,試問直線是否經(jīng)過定點,若是,求出定點坐標;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線的距離為.設為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)當點為直線上的定點時,求直線的方程;
(Ⅲ)當點在直線上移動時,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設拋物線的焦點為,準線為,,以為圓心的圓與相切于點,的縱坐標為,是圓與軸除外的另一個交點.
(I)求拋物線與圓的方程;
(II)過且斜率為的直線與交于兩點,求的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系中,直線l與拋物線相交于不同的兩點A,B.
(I)如果直線l過拋物線的焦點,求的值;
(II)如果,證明直線l必過一定點,并求出該定點坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在原點,焦點F在軸上,離心率,點在橢圓C上.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若斜率為的直線交橢圓與、兩點,且、、成等差數(shù)列,點M(1,1),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系中,已知橢圓:的離心率,且橢圓C上一點到點Q的距離最大值為4,過點的直線交橢圓于點
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設P為橢圓上一點,且滿足(O為坐標原點),當時,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知圓,圓,動圓與已知兩圓都外切.
(1)求動圓的圓心的軌跡的方程;
(2)直線與點的軌跡交于不同的兩點、,的中垂線與軸交于點,求點的縱坐標的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
給定圓:及拋物線:,過圓心作直線,此直線與上述兩曲線的四個交點,自上而下順次記為,如果線段的長按此順序構(gòu)成一個等差數(shù)列,求直線的方程.
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