Question

（2013•廣州三模）設(shè)k∈R，函數(shù)f(x)=

1 x  (x＞0) ex(x≤0)

，F(xiàn)（x）=f（x）+kx，x∈R．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)F（x）的值域；
（2）試討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)當(dāng)x＞0，x≤0時(shí)，分段求函數(shù)F（x）的值域，最后綜合即可；
（2）先求出F′（x），因?yàn)閗的取值決定了F′（x）的正負(fù)，所以分四種情況討論k的取值范圍即可得到函數(shù)單調(diào)性即可．

解答：解：（1）F(x)=

1 x  +x(x＞0) ex+x(x≤0)

，
當(dāng)x＞0時(shí)，F(x)=

1

x

+x≥2，即x=1時(shí)，F(xiàn)（x）最小值為2．
當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)（x）=e^x+x，在（-∞，0）上單調(diào)遞增，所以F（x）≤F（0）=1．
所以k=1時(shí)，F(xiàn)（x）的值域?yàn)椋?∞，1]∪[2，+∞]．
（2）依題意得F′(x)=

k- 1 x2 (x＞0) ex+k(x≤0)

①若k=0，當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減，當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增．
②若k＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，令F′（x）=0，解得x=

1 k

，
當(dāng)0＜x＜

1 k

時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減，當(dāng)x＞

1 k

時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增．
當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增．
③若-1＜k＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減．
當(dāng)x＜0時(shí)，解F′（x）=e^x+k=0得x=ln（-k），
當(dāng)ln（-k）＜x＜0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增，
當(dāng)x＜ln（-k）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減．
④k≤-1，對(duì)任意x≠0，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）在（-∞，0），（0，+∞）上遞減．
綜上所述，當(dāng)k＞0時(shí)，F(xiàn)（x）在（-∞，0]或(

1 k

，+∞)上單調(diào)遞增，在(0，

1 k

)上單調(diào)遞減；
當(dāng)k=0時(shí)，F(xiàn)（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)-1＜k＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在（ln（-k），0]上單調(diào)遞增，在（-∞，ln（-k）），（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)k≤-1時(shí)，F(xiàn)（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)能力，函數(shù)的值域的求法，分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想計(jì)算能力．