Question

一個(gè)多面體的三視圖和直觀圖如圖所示，其中M，G分別是AB，DF的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求該多面體的體積與表面積；
（Ⅱ）請(qǐng)?jiān)诶釧D上確定一點(diǎn)P，使得GP∥平面FMC，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）關(guān)鍵三視圖判斷直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)，底面直角三角形的直角邊長(zhǎng)，求出斜邊長(zhǎng)，把數(shù)據(jù)代入棱柱的表面積公式與體積公式計(jì)算；
（II）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，取DC的中點(diǎn)H，連接GH，AH，利用證明平面GAH∥平面FCM，來(lái)證AG∥平面FMC．

解答： 解：（Ⅰ）幾何體為直三棱柱，且直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面三角形為直角三角形，直角邊長(zhǎng)分別為1、2，斜邊長(zhǎng)為

5

，
∴體積V=

1

2

×1×2×3=3，
表面積 S=2×

1

2

×2×1+1×3+2×3+3×

5

=11+3

5

；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，取DC的中點(diǎn)H，連接GH，AH，
∵G為DF的中點(diǎn)，∴GH∥FC，∴GH∥平面FCM，
又∵DH∥AM，DH=AM，∴四邊形AMCH為平行四邊形，∴AH∥CM，∴AH∥平面FCM，
∵GH，AH是平面GAH上兩相交直線，
∴平面GAH∥平面FCM，∴AG∥平面FMC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由三視圖求幾何體的表面積與體積，考查了面面平行的性質(zhì)，考查了學(xué)生的推理論證能力，解題的關(guān)鍵是判斷三視圖的數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量．