Question

在△ABC中，2sin2AcosA-sin3A+

3

cosA=

3

．
（1）求角A的大��；
（2）已知a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若a=1且sinA+sin（B-C）=2sin2C，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知等式左邊化簡(jiǎn)，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)A為三角形內(nèi)角求出這個(gè)角的范圍，確定出A的度數(shù)即可；
（2）已知等式兩邊化簡(jiǎn)后，得到cosC=0或sinB=2sinC，①當(dāng)cosC=0時(shí)，求出C與B度數(shù)，根據(jù)a的值利用三角函數(shù)定義求出b的值，求出此時(shí)三角形ABC面積；②當(dāng)sinB=2sinC時(shí)，利用正弦定理得到b=2c，再利用余弦定理求出c²，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（1）已知等式化簡(jiǎn)得：2sin2AcosA-sin3A+

3

cosA
=2sin2AcosA-sin（2A+A）+

3

cosA
=sin2AcosA-cos2AsinA+

3

cosA
=sinA+

3

cosA
=2sin（A+

π

3

）
=

3

，
∴sin（A+

π

3

）=

3

2

，
∵A∈（0，π），
∴A+

π

3

∈（

π

3

，

4π

3

），
∴A+

π

3

=

2π

3

，即A=

π

3

；
（2）∵sinA+sin（B-C）=2sin2C，
∴sin（B+C）+sin（B-C）=4sinCcosC，
∴2sinBcosC=4sinCcosC，
∴cosC=0或sinB=2sinC，
①當(dāng)cosC=0時(shí)，C=

π

2

，∴B=

π

6

，
∴b=atanB=

3

3

，
則S_△ABC=

1

2

ab=

1

2

×1×

3

3

=

3

6

；
②當(dāng)sinB=2sinC時(shí)，由正弦定理可得b=2c，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，即1=4c²+c²-2c²，即c²=

1

3

，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=c²sinA=

1

3

×

3

2

=

3

6

，
綜上，△ABC的面積為

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查正弦定理，三角形面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．