如圖,在三棱錐P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PCAC.

(Ⅰ)求證:PCAB;

(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大;

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面APB的距離.

解法一:

(I)取AB中點(diǎn)D,連結(jié)PD,CD.

AP=BP,

PDAB.

AC=BC,

CDAB.

PDCD=D,

AB⊥平面PCD.

PC∩平面PCD.

PCAB.

(Ⅱ)∵AC=BC,APBP,

∴△APC≌△BPC.

PCAC.

PCBC.

又∠ACB=90°,即ACBC.

ACPCC,

BC⊥平面PAC.

AP中點(diǎn)E,連結(jié)BE,CE.

ABBP

BEAP.

ECBE在平面PAC內(nèi)的射影.

CEAP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

在△BCE中,∠BCE=90°,BC=2,BEAB=,

∴sin∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小為 aresin

(Ⅲ)由(Ⅰ)知AB⊥平面PCD,

∴平面APB⊥平面PCD.

CCHPD,垂足為H.

∵平面APB∩平面PCDPD

CH⊥平面APB.

CH的長即為點(diǎn)C到平面APB的距離,

由(Ⅰ)知PCAB,又PCAC,

ABAC=A.

PC⊥平面ABC.

CD平面ABC.

PCCD.

在Rt△PCD中,CD

PC

CH=

∴點(diǎn)C到平面APB的距離為

解法二:

(Ⅰ)∵ACBC,APBP

∴△APC≌△BPC.

PCAC.

PCBC.

ACBC=C,

PC⊥平面ABC.

AB平面ABC,

PCAB.

(Ⅱ)如圖,以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.

C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).

設(shè)P(0,0,t).

∵|PB|=|AB|=2,

t=2,P(0,0,2).

AP中點(diǎn)E,連結(jié)BECE.

∵|AC|=|PC|,|AB|=|BP|,

CEAP,BEAP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

E(0,1,1),

∴cos∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小為arccos

(Ⅲ)∵AC=BC=PC,

C在平面APB內(nèi)的射影為正△APB的中心H,且CH的長為點(diǎn)C到平面APB的距離.

如(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyZ.

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為().

∴點(diǎn)C到平面APB的距離為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA、PB、PC兩兩垂直,且PA=3.PB=2,PC=1.設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn),定義f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積.若f(M)=(
1
2
,x,y),且
1
x
+
a
y
≥8恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,若PA=AB=2,∠BPC=θ,則當(dāng)△AEF的面積最大時(shí),tanθ的值為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D、E分別為AB、AC中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:DE‖平面PBC;
(Ⅱ)求證:AB⊥PE;
(Ⅲ)求二面角A-PB-E的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐P-ABC中,已知PA=PB=PC,∠BPA=∠BPC=∠CPA=40°,一繩子從A點(diǎn)繞三棱錐側(cè)面一圈回到點(diǎn)A的最短距離是
3
,則PA=
1
1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA=90°,AP=AC,點(diǎn)D,E分別在棱
PB,PC上,且BC∥平面ADE
(I)求證:DE⊥平面PAC;
(Ⅱ)當(dāng)二面角A-DE-P為直二面角時(shí),求多面體ABCED與PAED的體積比.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案