Question

【題目】如圖，在三棱柱中，為的重心，.

（1）求證：平面；

（2）若側(cè)面底面，，，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接，并延長，交于點(diǎn)，過作，交于點(diǎn)，分別連接，.為是的重心，所以，又，所以，所以，從而平面；（2）以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量與平面的法向量，計(jì)算得線面角的正弦值為.

試題解析：

（1）連接，并延長，交于點(diǎn)，過作，交于點(diǎn)，分別連接，.因?yàn)?/span>是的重心，所以.

又，所以.

又據(jù)三棱柱性質(zhì)知，

所以.

又因?yàn)?/span>,，

所以.

又,,，

所以.

又因?yàn)?/span>，，

所以平面平面

又因?yàn)?/span>，

所以平面

（2）連結(jié).

因?yàn)?/span>,,,

所以，

所以,所以.

因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，，

所以平面.

因?yàn)?/span>，，所以是等邊三角形，

所以.

以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

所以，，，，

所以.

設(shè)平面的一個法向量為，則

所以

令，得，

所以.

所以.即直線與平面所成角的正弦值為.