Question

9．如圖，在四棱錐S-ABCD中，已知底面ABCD為直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD=90°，SA⊥底面ABCD，SA=AB=BC=2，CD=$\sqrt{5}$．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）在棱SD上找一點E，使CE∥平面SAB，并證明．

Answer 1

分析 （1）由已知先求出AD=2+$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=3，由此能求出四棱錐S-ABCD的體積．
（2）在SD上找一點E，使得SE：SD=2：3，此時CE∥平面SAB．過E作EF∥AD交SA于F，連接BF，CE，由△SFE∽△SAD，得到四邊形BCEF是平行四邊形，由此能證明CE∥面SAB．

解答 解：（1）∵在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，
SA⊥底面ABCD，SA=AB=BC=2，CD=$\sqrt{5}$，
∴AD=2+$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=3，
${S}_{梯形ABCD}=\frac{2+3}{2}×2$=5，
∴四棱錐S-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形ABCD}×SA$=$\frac{1}{3}×5×2$=$\frac{10}{3}$．
（2）在SD上找一點E，使得SE：SD=2：3，此時CE∥平面SAB．
證明如下：過E作EF∥AD交SA于F，連接BF，CE
則△SFE∽△SAD，∴$\frac{EF}{AD}=\frac{SE}{SD}=\frac{2}{3}$，EF=2
又EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，EF=BC=2
∴四邊形BCEF是平行四邊形
∴CE∥BF，
∵BF?面SAB上，CE?面SAB，
∴CE∥面SAB．

點評 本題考查四棱錐的體積的求法，考查滿足線面平行的點的位置的確定，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．