Question

4．中秋節(jié)前幾天，小毛所在的班級籌劃組織一次中秋班會，熱心的小毛受班級同學(xué)委托，去一家小禮品店為班級的三個小組分別采購三種小禮物：中國結(jié)、記事本和筆袋（每種禮物的品種和單價(jià)都相同）．
三個小組給他的采購計(jì)劃各不相同，各種禮物的采購數(shù)量及價(jià)格如下表所示：

	中國結(jié)（個）	記事本（本）	筆袋（個）	合計(jì)（元）
小組A	2	1	0	10
小組B	1	3	1	10
小組C	0	5	2	30

為了結(jié)賬，小毛特意計(jì)算了各小組的采購總價(jià)（見上表合計(jì)欄），可是粗心的小毛卻不慎抄錯了其中一個數(shù)字．第二天，當(dāng)他按照自己的記錄去向各小組報(bào)銷的時(shí)候，有同學(xué)很快發(fā)現(xiàn)其中有錯．發(fā)現(xiàn)錯誤的同學(xué)并不知道三種小禮物的單價(jià)，那么他是如何作出判斷的呢？請你用所學(xué)的行列式的知識對此加以說明．

Answer 1

分析 設(shè)中國結(jié)每個x元，記事本每本y元，筆袋每個z元，由題設(shè)列出方程組，由系數(shù)行列式D=0，得方程組有無窮多組解或無解，再由D_x，D_y，D_z均不為0，得到該方程組無解．

解答 （本題滿分12分）
解：設(shè)中國結(jié)每個x元，記事本每本y元，筆袋每個z元，
由題設(shè)有$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y=10}\\{x+3y+z=10}\\{5y+2z=30}\end{array}}\right.$，
∵$D=|{\begin{array}{l}2&1&0\\ 1&3&1\\ 0&5&2\end{array}}|=0$，∴方程組有無窮多組解或無解，
又${D_x}=|{\begin{array}{l}{10}&1&0\\{10}&3&1\\{30}&5&2\end{array}}|=20≠0$，${D_y}=|{\begin{array}{l}2&{10}&0\\ 1&{10}&1\\ 0&{30}&2\end{array}}|=-40≠0$，${D_z}=|{\begin{array}{l}2&1&{10}\\ 1&3&{10}\\ 0&5&{30}\end{array}}|=100≠0$，
∴該方程組無解．

點(diǎn)評 本題考查行列式知識的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意系數(shù)行列式在解線性方程組時(shí)的合理運(yùn)用．