Question

如圖，已知圓C：（x-1）²+y²=r²（r＞1），設(shè)A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作圓C的弦AM，并使弦AM的中點(diǎn)恰好落在y軸上．
（1）當(dāng)r在（1，+∞）內(nèi)變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）已知定點(diǎn)P（-1，1）和Q（1，0），設(shè)直線PM、QM與軌跡E的另一個(gè)交點(diǎn)分別是M₁、M₂．求證：當(dāng)M點(diǎn)在軌跡E上變動(dòng)時(shí)，只要M₁、M₂都存在且M₁≠M(fèi)₂，則直線M₁M₂恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的軌跡問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)M（x，y），則AM的中點(diǎn)D(0，

y

2

)．利用CD⊥DM，建立方程，由此能求出點(diǎn)M的軌跡E的方程．
（2）設(shè)M，M₁，M₂的坐標(biāo)分別為(t2，2t)，(

t

2 1

，2t1)，(

t

2 2

，2t2)，其中t≠0且t≠

1

2

．由P，M，M₁共線得

2t1-2t

t 2 1 -t2

=

2t-1

t2+1

⇒t1=

t+2

2t-1

； 由Q，M，M₂共線得

2t2-2t

t 2 2 -t2

=

2t-0

t2-1

⇒t2=-

1

t

，可得t₁t₂=-

t+2

2t2-t

，t₁+t₂=

t2+1

2t2-t

，求出直線M₁M₂的方程，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），則AM的中點(diǎn)D(0，

y

2

)．
因?yàn)镃（1，0），

DC

=（1，-

y

2

），

DM

=（x，

y

2

）
在⊙C中，因?yàn)镃D⊥DM，所以x-

y2

4

=0．
所以，點(diǎn)M的軌跡E的方程為：y²=4x（x≠0）．
（2）設(shè)M，M₁，M₂的坐標(biāo)分別為(t2，2t)，(

t

2 1

，2t1)，(

t

2 2

，2t2)，其中t≠0且t≠

1

2

．
由P，M，M₁共線得

2t1-2t

t 2 1 -t2

=

2t-1

t2+1

⇒t1=

t+2

2t-1

；
由Q，M，M₂共線得

2t2-2t

t 2 2 -t2

=

2t-0

t2-1

⇒t2=-

1

t

．
∴t₁t₂=-

t+2

2t2-t

，t₁+t₂=

t2+1

2t2-t

∴直線M₁M₂的方程為（t₁+t₂）y-2x-2t₁t₂=0，即t²（y-4x）+2t（x+1）+（y+4）=0，
∴

y-4x=0 x+1=0 y+4=0

，
∴x=-1，y=-4，
∴直線M₁M₂恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)（-1，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線過(guò)定點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．