Question

【題目】設(shè),函數(shù).

（1）求函數(shù)的的單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）設(shè),問是否存在極值, 若存在, 請(qǐng)求出極值; 若不存在, 請(qǐng)說明理由;

（3）設(shè)是函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn), 線段的中點(diǎn)為,直線的斜率為.證明:.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), （2）當(dāng)時(shí), 無極值; 當(dāng)時(shí), 有極大值無極小值.（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再在定義區(qū)間內(nèi)求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)：當(dāng)時(shí), 恒成立, 當(dāng)時(shí), ，最后列表分析區(qū)間導(dǎo)數(shù)符號(hào)，確定單調(diào)增區(qū)間（2）先求導(dǎo)函數(shù)，再在定義區(qū)間內(nèi)求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)：當(dāng)時(shí), 恒有,當(dāng)時(shí), 最后列表分析區(qū)間導(dǎo)數(shù)符號(hào)，確定極值，（3）先分析不等式：即，再構(gòu)造對(duì)應(yīng)函數(shù)：因?yàn)?/span>，所以設(shè)，即只要為增函數(shù)

試題解析：在區(qū)間上，.

（1）. ① 當(dāng)時(shí), 恒成立,的單調(diào)遞增區(qū)間為②當(dāng)時(shí), 令,即,得的單調(diào)遞增區(qū)間為.

綜上所述: 當(dāng)時(shí), 的單調(diào)遞增區(qū)間為;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）,得,當(dāng)時(shí), 恒有,

在上為單調(diào)遞增函數(shù), 故 在上無極值; 當(dāng)時(shí), 令 ,得單調(diào)遞增, 單調(diào)遞減, ，無極小值. 綜上所述: 當(dāng)時(shí), 無極值; 當(dāng)時(shí), 有極大值無極小值.

（3）證明:, 又,要證：，即證，不妨設(shè)，即證，即證，設(shè)，即證，也就是要證，其中，事實(shí)上：設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，因此，即結(jié)論成立.