Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx，滿足f（x-1）=f（x）+x-1
（1）求f（x）的解析式；
（2）設F(x)=-2f(log2x)+4log2x+2，

1

4

≤x≤4，求F（x）的最大值和最小值及取得最大值最小值時對應的x值．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數f（x）=ax²+bx，滿足f（x-1）=f（x）+x-1，確定關于a，b的方程組，即可求得函數的解析式；
（2）利用換元法，轉化為二次函數，利用配方法，可求f（x）的最大值和最小值及取得最大值最小值時對應的x值．

解答：解：（1）∵二次函數f（x）=ax²+bx，滿足f（x-1）=f（x）+x-1
∴a（x-1）²+bx（x-1）=ax²+bx+x-1
∴ax²-（2a-b）x+a-b=ax²+（b+1）x-1
∴

-(2a-b)=b+1 a-b=-1

∴

a=- 1 2 b= 1 2

∴f（x）=-

1

2

x2+

1

2

x…（4分）
（2）由（1）知F(x)=lo

g

2 2

x+3log2x+2…（6分），
令t=log₂x，
則y=t2+3t+2=(t+

3

2

)2-

1

4

，（-2≤t≤2）
∴t=-

3

2

，即log2x=-

3

2

，x=2-

3

2

，亦即x=

2

4

時，F（x）_min=-

1

4

                       …（10分）
當t=2，即x=4時，F（x）_max=12                      …（12分）

點評：本題考查函數解析式的確定，考查函數的最值，解題的關鍵是換元轉化為二次函數求最值，屬于中檔題．