Question

已知函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，a、b∈R，對命題“若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．”
（1）寫出其逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論；
（2）寫出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)逆命題的定義寫出命題“若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）的逆命題，再進行證明；
（2）寫出命題的逆否名，由于互為逆否命題同真假，故只需證原命題為真，利用f（x）在R上是增函數(shù)，進行證明；

解答：解：（1）逆命題是：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0，真命題．
用反證法證明：
設(shè)a+b＜0，則a＜-b，b＜-a，
∵f（x）是R上的增函數(shù)，
∴f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），這與題設(shè)f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）矛盾，所以逆命題為真．
（2）逆否命題：若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），
則a+b＜0，為真命題．
由于互為逆否命題同真假，故只需證原命題為真．
∵a+b≥0，∴a≥-b，b≥-a，
又∵f（x）在R上是增函數(shù)，
∴f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）．
∴f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），
∴原命題真，故逆否命題為真．

點評：此題主要考查四種命題的關(guān)系，逆命題、否命題的定義，注意互為逆否命題同真假，此題是一道很基礎(chǔ)的題；