Question

記Z=

(X-Y)2+( 2 X + Y 2 )2

（X≠0，X∈R，Y∈R），則Z的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：Z表示兩點(diǎn)P(X，

2

X

)，Q(Y，-

Y

2

)之間的距離．而點(diǎn)P在曲線C：y=

2

x

上，點(diǎn)Q在直線l：y=-

1

2

x上，如圖所示．設(shè)直線m∥l且與曲線C相切與P，利用導(dǎo)數(shù)可得切點(diǎn)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得最小值．

解答： 解：Z表示兩點(diǎn)P(X，

2

X

)，Q(Y，-

Y

2

)之間的距離．
而點(diǎn)P在曲線C：y=

2

x

上，點(diǎn)Q在直線l：y=-

1

2

x上，如圖所示．
設(shè)直線m∥l且與曲線C相切與P，
對于曲線C：y′=-

2

x2

，
∴-

2

X2

=-

1

2

，解得X=±2，
可得切點(diǎn)P（2，1），P（-2，-1）．
點(diǎn)P到直線l的距離d=

|2+2|

1+22

=

4 5

5

．
∴Z的最小值是

4 5

5

．
故答案為：

4 5

5

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)形結(jié)合思想、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．