Question

（2013•黑龍江二模）已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（I ）設(shè)g（x）=f（x）-ax，若不等式g（x）≥-1對一切x∈e （0，+∞）恒成立，求實數(shù)a 的取值范圍；
（II）設(shè)0＜x₁＜x₂，若實數(shù)x₀滿足，f（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，證明：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（I ）不等式g（x）≥-1對一切x∈（0，+∞）恒成立，等價于對一切x∈（0，+∞），g（x）_max≥-1成立，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的最大值，即可求實數(shù)a 的取值范圍；
（II）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的意義，借助于函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論．

解答：（I ）解：不等式g（x）≥-1對一切x∈（0，+∞）恒成立，等價于對一切x∈（0，+∞），g（x）_max≥-1成立
設(shè)g（x）=f（x）-ax，x＞0，則g′（x）=lnx+1-a
令g′（x）＞0，則x＞e^a-1，令g′（x）＜0，則0＜x＜e^a-1，
∴g（x）_max=g（e^a-1）=-e^a-1≥-1，∴a≤1；
（II）證明：由題意f′（x）=lnx+1，則f′（x₀）=lnx₀+1，∴lnx0=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

-1
①lnx0-lnx2=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

-lnx2-1=

x2lnx2-x1lnx1

x2-x1

-lnx2-1=

ln x2 x1

x2 x1 -1

-1
令

x2

x1

=t，則lnx0-lnx2=

lnt-t+1

t-1

，t＞1
令u（t）=lnt-t+1，則u′(t)=

1

t

-1＜0，∴u（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減
∴u（t）＜u（1）=0，∴l(xiāng)nx₀＜lnx₂，∴x₀＜x₂；
②lnx0-lnx1=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

-lnx1-1=

x2 x1 ln x2 x1

x2 x1 -1

-1
令

x2

x1

=t，則lnx0-lnx1=

tlnt-t+1

t-1

，t＞1
令v（t）=tlnt-t+1，則v′（t）=lnt＞0，∴v（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴v（t）＞v（1）=0，∴l(xiāng)nx₀＞lnx₁，∴x₀＞x₁
由①②可得x₁＜x₀＜x₂．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．