Question

【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，C的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知不經(jīng)過點(diǎn)A的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)為B，若，求證：直線l過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）設(shè)橢圓C的半焦距為，由，求得的值，進(jìn)而得到的值，得出橢圓的方程；

（Ⅱ）聯(lián)立方程組，得，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，再結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，列出方程求得的值，代入驗(yàn)證，即可求解．

（Ⅰ）由已知，所以，

設(shè)橢圓C的半焦距為，因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以橢圓C的方程為．

（Ⅱ）由題意知，

聯(lián)立，整理得，

由題意知．（*）

設(shè)，，則，，

因?yàn)?/span>，B為線段MN的中點(diǎn)，所以，

所以，

又，，，

所以，

所以，

整理得，得或，

當(dāng)時(shí)，l的方程為，過定點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，l的方程為，

過定點(diǎn)，經(jīng)檢驗(yàn)，符合（*）式，

綜上所述，直線l過定點(diǎn)．