已知定義在R上的函數(shù)F（x）滿足F（x+y）=F（x）+F（y），當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）＜0，且對(duì)任意的數(shù)學(xué)公式均成立，
（1）求證：函數(shù)F（x）在R上為減函數(shù)
（2）求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解：（1）設(shè)x1＜x2，則x2-x1＞0∴F（x2-x1）＜0 …
∴F（x2）=F（x2-x1）+F（x1）＜F（x1）∴函數(shù)F（x）在R上為減函數(shù) …
（2）∵函數(shù)F（x）在R上為減函數(shù)∴對(duì)x∈[0，1]成立，…
依題有成立
由于f（x）＜0對(duì)x∈[0，1]成立∴①…
由于g（x）＞0對(duì)x∈[0，1]成立∴
∴恒成立∴k＜2②…
綜上由①、②得-3＜k＜2…
分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明，設(shè)x1＜x2，則x2-x1＞0然后判定F（x2）與F（x1）的大小即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得對(duì)x∈[0，1]成立，然后轉(zhuǎn)化成對(duì)x∈[0，1]成立，最后求出f（x）＜0對(duì)x∈[0，1]成立時(shí)k的范圍，以及g（x）＞0對(duì)x∈[0，1]成立時(shí)k的范圍，再求交集即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定和不等式恒成立問(wèn)題，是一道綜合題，有一定的難度，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足下列條件：
①對(duì)任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）；
②若0≤x1＜x2≤1，都有f（x1）＞f（x2）；
③y=f（x+1）是偶函數(shù)，
則下列不等式中正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）=
f(x-1)-f(x-2)，x＞0
log2(1-x)，       x≤0
  則：
①f（3）的值為
0
0
，
②f（2011）的值為
-1
-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且x∈（-1，1]時(shí)f(x)=
1，(-1＜x≤0)
-1，(0＜x≤1)
，則f（3）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，對(duì)x∈R都有f（2+x）=f（2-x），當(dāng)f（-3）=-2時(shí)，f（2013）的值為（　�。�
A、-2B、2C、4D、-4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，則f（2013）=（　�。�
A、0B、2013C、3D、-2013

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