Question

【題目】已知函數(shù) f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）．

（Ⅰ）若 a=4，求函數(shù) f（x）的極值；

（Ⅱ）若 f′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有唯一的零點(diǎn) x0，求 a 的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】分析：（1）當(dāng)a=4時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解極值即可；

（2）方法一：利用，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)為0，構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)分類(lèi)討論求解即可.

方法二：令，由得，設(shè)，則，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)的圖象在恰有一個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，即可求a 的取值范圍．

詳解：（Ⅰ）當(dāng) a=4 時(shí)，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），

由 x∈（0，+∞），令 f'（x）=0，得．

當(dāng) x 變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化如下表：

x
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

故函數(shù) f（x）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，f（x）有極小值， 無(wú)極大值．…

（Ⅱ）解法一，

令 f'（x）=0，得 2ax2+2x﹣1=0，設(shè) h（x）=2ax2+2x﹣1．

則 f'（x）在（0，1）有唯一的零點(diǎn) x0 等價(jià)于 h（x）在（0，1）有唯一的零點(diǎn) x0

當(dāng) a=0 時(shí)，方程的解為，滿(mǎn)足題意

當(dāng) a＞0 時(shí)，由函數(shù) h（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸，函數(shù) h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增， 且 h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以滿(mǎn)足題意；

當(dāng) a＜0，△=0 時(shí)，，此時(shí)方程的解為 x=1，不符合題意； 當(dāng) a＜0，△≠0 時(shí)，由 h（0）=﹣1，

只需 h（1）=2a+1＞0，得

（說(shuō)明：△=0 未討論扣 1 分）

解法二：

（Ⅱ），

令 f'（x）=0，由 2ax2+2x﹣1=0，得．

設(shè)，則 m∈（1，+∞），，

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn) y=a 與函數(shù)的圖象在（1，+∞）恰有一個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題． 又當(dāng) m∈（1，+∞）時(shí)，h（m）單調(diào)遞增，

故直線(xiàn) y=a 與函數(shù) h（m）的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)． …