Question

14．已知（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ（n∈N^*）展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和比各項(xiàng)的系數(shù)和大256；
（Ⅰ）求展開式中的所有無理項(xiàng)的系數(shù)和；
（Ⅱ）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得2ⁿ=256，求出n的值，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式得出無理項(xiàng)的系數(shù)和；
（Ⅱ）根據(jù)二項(xiàng)展開式求出展開項(xiàng)的系數(shù)最大時(shí)對應(yīng)的項(xiàng)是什么．

解答 解：（Ⅰ）由條件得（1+1）ⁿ-（1-1）ⁿ=256，
即2ⁿ=256，∴n=8；
∴${（\sqrt{x}-\frac{1}{{x}^{2}}）}^{8}$的第r+1項(xiàng)為
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{8-r}$•${（-\frac{1}{{x}^{2}}）}^{r}$
=${C}_{8}^{r}$•（-1）^r•${x}^{4-\frac{5}{2}r}$，
其中r=0，1，2，…，8； …（4分）
由通項(xiàng)公式知當(dāng)r=1，3，5，7時(shí)，T_r+1為無理項(xiàng)，
∴無理項(xiàng)的系數(shù)和為
-（${C}_{8}^{1}$+${C}_{8}^{3}$+${C}_{8}^{5}$+${C}_{8}^{7}$）=-128； …（8分）
（Ⅱ）當(dāng)r=1，3，5，7時(shí)，展開項(xiàng)的系數(shù)為-${C}_{8}^{r}$；
當(dāng)r=0，2，4，6，8時(shí)，展開項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{8}^{r}$；
∴當(dāng)r=4時(shí)，展開項(xiàng)的系數(shù)最大，
且系數(shù)最大的項(xiàng)為
T₄₊₁=${C}_{8}^{4}$•（-1）⁴•${x}^{4-\frac{5}{2}×4}$=70x^-6．  …（12分）

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)靈活應(yīng)用展開式的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題目．