Question

2．已知動點(diǎn)P（x，y）及兩定點(diǎn)A（-3，0）和B（3，0），若$\frac{|PA|}{|PB|}$=2，（|PA|、|PB|分別表示點(diǎn)P與點(diǎn)A、B的距離）
（1）求動點(diǎn)P的軌跡Γ方程．
（2）動點(diǎn)Q在直線y-x-1=0上，且QM、QN是軌跡Γ的兩條切線，M、N是切點(diǎn)，C是軌跡Γ中心，求四邊形OMCN面積的最小值及此時直線MN的方程．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件直接列出方程，即可求動點(diǎn)P的軌跡Γ方程．
（2）由（1）知軌跡Γ是以C（5，0）為圓心，半徑為4的圓，可得|QM|=|QN|，表示出四邊形面積S，然后求出S_min=4$\sqrt{2}$．線段CQ為直徑的圓的方程，以及直線MN的方程．

解答 解：（1）由|PA|=$\sqrt{{（x+3）}^{2}+{y}^{2}}$，$\left|PB\right|=\sqrt{{（x-3）}^{2}+{y}^{2}}$，代入$\frac{|PA|}{|PB|}$=2，
經(jīng)化簡得軌跡Γ方程為（x-5）²+y²=16．
（2）由（1）知軌跡Γ是以C（5，0）為圓心，半徑為4的圓，|QM|=|QN|，
易知四邊形面積S=$\frac{1}{2}$（|QM|+|QN|）×4=4|QM|，故|QM|最小時，四邊形QMNC面積最�。�
|QM|=$\sqrt{2}$
故有S_min=4$\sqrt{2}$．
此時CQ直線：x+y=5  由$\left\{\begin{array}{l}x+y=5\\ y-x=1\end{array}\right.$  得到Q（2，3），
以線段CQ為直徑的圓的方程為：x²-7x+y²-3y+10=0．
兩圓方程相減得到直線MN的方程為：3y-2x-1=0．

點(diǎn)評 本題考查直線方程的綜合應(yīng)用，在方程以及圓的方程的求法，考查計算能力．