Question

已知函數(shù)f（x）=2acos²x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的最大值及取得最大值時(shí)x的集合；
（3）寫出函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由f（0）=2求得a=1，再由f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

，求得b的值．
（2）由條件利用三角恒等變換求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，由此可得函數(shù)f（x）取得最大值．
（3）令

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，求得x的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

]，k∈z，從而得到函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（1）由f（0）=2得，2a=2，∴a=1．再由f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

，可得b=2．
（2）f（x）=2acos²x+bsinxcosx=1+cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
故當(dāng)2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈z時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為

2

+1．
（3）令

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，求得 kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈z，
可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

]，k∈z，
故函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

8

，

5π

8

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角恒等變換，三角函數(shù)的周期性與求法，正弦函數(shù)的增區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．