已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），C的右焦點(diǎn)F（1，0），長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)分別為A1，A2，且
.
FA1
•
FA2
=-1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)焦點(diǎn)F斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，弦AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)D．試問(wèn)橢圓C上是否存在點(diǎn)E使得四邊形ADBE為菱形？若存在，試求點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（Ⅰ）依題設(shè)A1（-a，0），A2（a，0），則
FA1
=(-a-1，0)，
FA2
=(a-1，0)．
由
FA1
•
FA2
=-1，得：（-a-1）（a-1）=-1，解得a2=2，又c=1，所以b2=1．
所以橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1．
（Ⅱ）橢圓C上是否存在點(diǎn)E使得四邊形ADBE為菱形．
事實(shí)上，依題直線l的方程為y=k（x-1）．
聯(lián)立
y=k(x-1)
x2
2
+y2=1
，得：（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），
則x1+x2=
4k2
2k2+1
，x1x2=
2(k2-1)
2k2+1
，
所以x0=
x1+x2
2
=
2k2
2k2+1
，y0=k(x0-1)=k(
2k2
2k2+1
-1)=
-k
2k2+1
，
所以M(
2k2
2k2+1
，
-k
2k2+1
)．
則直線MD的方程為y+
k
2k2+1
=-
1
k
(x-
2k2
2k2+1
)，
令y=0，得xD=
k2
2k2+1
，則D(
k2
2k2+1
，0)．
若四邊形ADBE為菱形，則xE+xD=2x0，所以xE=2x0-xD=
4k2
2k2+1
-
k2
2k2+1
=
3k2
2k2+1
．
yE+yD=2y0，所以yE=2y0-yD=
-2k
2k2+1
．
所以E(
3k2
2k2+1
，
-2k
2k2+1
)．
若點(diǎn)E在橢圓C上，則(
3k2
2k2+1
)2+2(
-2k
2k2+1
)2=2．
即9k4+8k2=2（2k2+1）2
整理得k4=2，解得k2=
2
．
所以橢圓C上存在點(diǎn)E使得四邊形ADBE為菱形．
此時(shí)點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為
3
2
2
2
+1
=
3
2
(2
2
-1)
7
=
12-3
2
7
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿(mǎn)足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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