(2011•孝感模擬)如圖所示,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F(xiàn),G分別為PC、PD、BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PA⊥EF;
(Ⅱ)求證:FG∥平面PAB.
分析:(Ⅰ)由于EF∥CD,要證明PA⊥EF,只要證CD⊥PA,結(jié)合已知,PD⊥平面ABCD,可得CD⊥PD.由ABCD為正方形,可得CD⊥AD.則可得CD⊥平面PAD可證
(Ⅱ)(法一)利用線面平行的判定定理,要證FG∥平面PAB.只要證明FG平行于平面PAB內(nèi)的一條直線,結(jié)合題目特點(diǎn)考慮取PA的中點(diǎn)H,則由中位線的性質(zhì)可知四邊形FHBG是平行四邊形.從而可得FG∥HB
(法二)利用面面平行的性質(zhì),要證FG∥平面PAB.只要證明平面EFG∥平面PAB即可
解答:證明:(Ⅰ)∵PD⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
∴CD⊥PD.
又ABCD為正方形,
∴CD⊥AD.
∵PD∩AD=D,
∴CD⊥平面PAD.-----------(3分)
∵PA?平面PAD,
∴CD⊥PA.
∵EF∥CD,
∴PA⊥EF.----------(6分)
(Ⅱ)取PA的中點(diǎn)H,連接FH,HB,
∵F,H,G分別是PD,PA,BC的中點(diǎn),且ABCD為正方形,
∴FH∥AD,BG∥AD,
且FH=
1
2
AD,BG=
1
2
AD
∴FH∥BG,且FH=BG.
∴四邊形FHBG是平行四邊形.
∴FG∥HB.----------(10分)
又∵FG在平面PAB外,HB?平面PAB.
∴FG∥平面PAB.----------(12分)
(法二)∵F,H,G分別是PD,PA,BC的中點(diǎn),且ABCD為正方形,
∴EF∥AB,EG∥PB,
由線面平行的判定定理可知,EF∥平面PAB,EG∥平面PAB
∵EF∩EG=E
∴根據(jù)平面與平面平行的判定定理可得,平面EFG∥平面PAB
∵FG⊆平面EFG
∴FG∥平面PAB.
點(diǎn)評:本題 主要考查了線面垂直,線面平行與線線垂直、線線平行的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用,證明線面垂直關(guān)鍵是證明直線與面內(nèi)的兩條相交直線垂直;證明線面平行關(guān)鍵是證明已知直線與面內(nèi)一條直線平行即可
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1
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2
2
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4
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