Question

已知函數(shù)f（x）=cosxsin（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

，x∈R．
（1）求f（x）的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求y=[f（x）]²+f（x）+1的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,函數(shù)的值域,正弦函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡可得解析式f（x）=

1

2

sin（2x-

π

3

），從而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求得f（x）的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先求得f（x）的值域，根據(jù)二次函數(shù)y的圖象是拋物線，對稱軸x=-

1

2

，求出f（x）的最小值與最大值，從而得值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=cosxsin（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

=

1

2

sinxcosx+

3

2

cos²x-

3

cos²x+

3

4

=

1

2

sin（2x-

π

3

）+

3

4

∴令2x-

π

3

=kπ，k∈Z可解得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z
∴f（x）的對稱中心是（

kπ

2

+

π

6

，0），k∈Z，單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

6

]，k∈Z，
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴f（x）=

1

2

sin（2x-

π

3

）∈[-

3

4

，

1

2

]
∵二次函數(shù)y=[f（x）]²+f（x）+1的圖象是拋物線，對稱軸是x=-

1

2

，
∴當f（x）∈[-

3

4

，

1

2

]時，f（x）有最小值是f（-

3

4

）=

19-4 3

16

，最大值是f（

1

2

）=

7

4

，
∴y=[f（x）]²+f（x）+1的值域是[

19-4 3

16

，

7

4

]；

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應用，函數(shù)的值域，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查．