Question

（2012•浙江模擬）如圖1所示，Rt△ABC中，BC=2，CA=3，點(diǎn)P在線段AB上，將△BPC沿CP折成直二面角S-CP-A（點(diǎn)B與點(diǎn)S重合），且SA=

7

（圖2）．

（1）求∠SCP的度數(shù)；
（2）求二面角P-SC-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示

SA

，利用SA=

7

，即可求得∠SCP的度數(shù)；
（2）平面PSC的法向量為

n1

=(0，1，0)，平面ASC的法向量為

n2

=(1，1，1)，利用向量的夾角公式，即可求得二面角P-SC-A的余弦值．

解答：解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)∠SCP=α，則A（2cosα-3sinα，3cosα，-2sinα），C（2cosα，0，0），S（0，0，2sinα）
∴

SA

=（2cosα-3sinα，3cosα，-2sinα），
∴|

SA

|=

13-6sin2α

=

7

，∴sin2α=1，∴α=

π

4

（2）平面PSC的法向量為

n1

=(0，1，0)
設(shè)平面ASC的法向量為

n2

=(x，y，z)
∵

SC

=(

2

，0，-

2

)，

CA

=(-

3 2

2

，

3 2

2

，0)
∴

2 x- 2 z=0 - 3 2 2 x+ 3 2 2 y=0

，∴取

n2

=(1，1，1)
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

3

=

3

3

∴二面角P-SC-A的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，考查面面角，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．