Question

7．在△ABC中，B（4，0），C（-4，0）動(dòng)點(diǎn)A滿足sinB-sinC=$\frac{1}{2}$sinA則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$（x＞2）．

Answer 1

分析 △ABC中，利用正弦定理，將sinB-sinC=$\frac{1}{2}$sinA轉(zhuǎn)化為b-c=$\frac{1}{2}$a，再由雙曲線的概念即可求其軌跡方程．

解答 解：∵B（4，0），C（-4，0）是△ABC 的兩個(gè)頂點(diǎn)，內(nèi)角A、B、C滿足sinB-sinC=$\frac{1}{2}$sinA，
∴由正弦定理得b-c=$\frac{1}{2}$a，即|AC|-|AB|=$\frac{1}{2}$|BC|=4，
∴點(diǎn)A在以B（4，0），C（-4，0）為焦點(diǎn)，即2c=8，c=4；實(shí)軸長為4，即a=2的雙曲線的右支上，
∴b²=c²-a²=16-4=12．
又A、B、C構(gòu)成三角形，故點(diǎn)C與A，B不共線，
∴頂點(diǎn)A的軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$（x＞2）．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$（x＞2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，考查雙曲線的概念與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查理解與運(yùn)算能力，屬于中檔題．