【題目】已知平面上兩定點M0,﹣2)、N0,2),P為一動點,滿足||||

I)求動點P的軌跡C的方程;

II)若A、B是軌跡C上的兩不同動點,且λ.分別以A、B為切點作軌跡C的切線,設(shè)其交點Q,證明為定值.

【答案】Ix28y

II)見解析

【解析】

I)先設(shè)Px,y),求動點P的軌跡C的方程,即尋找x,y之間的關(guān)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運算即可得到.

II)先設(shè)出A,B兩點的坐標(biāo),利用向量關(guān)系及向量運算法則,用A,B的坐標(biāo)表示出,最后看其是不是定值即可.

I)設(shè)Px,y.

由已知 xy+2),0,4),(﹣x,2y),

4y+8.

||||4

||||

4y+84整理,得x28y

即動點P的軌跡C為拋物線,其方程為x28y.

II)由已知N02.

即得(﹣x1,2y1)=λx2y22

設(shè)Ax1,y1),Bx2,y2.λ

即得(﹣x1,2y1)=λx2,y22),

∴﹣x1λx21),

2y1λy222

將(1)式兩邊平方并把x128y1,x2/span>28y2代入得y1y2

解得 y1,y2,

且有x1x2=﹣λx22=﹣y2=﹣16.

拋物線方程為 y,求導(dǎo)得yx.

所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是 yx1xx1+y1,yx2xx2+y2,

yx1xx12yx2xx22

解出兩條切線的交點Q的坐標(biāo)為 ,)=(,﹣2

所以 ,﹣4x2x1,y1y2

x22x12)﹣4x22x12)=0

所以 為定值,其值為0.

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