Question

【題目】已知函數(shù)（，）．

（1）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；

（2）當時，判斷關(guān)于的方程的解的個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）只有一個解.

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)在恒成立求解即可，求解時可選用分離參數(shù)的方法．（2）由題意可得即判斷方程根的個數(shù)，令，利用導數(shù)可得存在，使得 時 單調(diào)遞減，當 時單調(diào)遞增，又，→時，→，結(jié)合圖象可得當，時，方程有一個解，即方程只有一個解．

試題解析：

（1）∵，

∴，

由題意得在恒成立，

即在恒成立，

設(shè)，

則，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴，

∴．

∴實數(shù)的取值范圍為．

（2）由題意得，

∴，

令，

則，

令，

則，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，

又，，

∴存在，使得 時， 單調(diào)遞減；

當 時，，單調(diào)遞增，

又，→時，→，

∴當，時，方程有一個解，

∴當時，方程只有一個解．