Question

已知橢圓，離心率為，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為其左右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)P到F₁與F₂距離之和為4，
（1）求橢圓C₁方程．
（2）若一動(dòng)圓過(guò)F₂且與直線x=-1相切，求動(dòng)圓圓心軌跡C方程．
（3）在（2）軌跡C上有兩點(diǎn)M，N，橢圓C₁上有兩點(diǎn)P，Q，滿足與共線，與共線，且=0，求四邊形PMQN面積最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知，由此能求出橢圓C₁方程．
（2）設(shè)動(dòng)圓圓心C（x，y），由動(dòng)圓過(guò)的右焦點(diǎn)F₂（1，0），且與直線x=-1相切，知，由此能求出動(dòng)圓圓心軌跡C方程．
（3）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，|MN|=4，SPMQN=8；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：y=k（x-1），直線PQ的方程為y=（x-1），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），由，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由拋物線定義可知：|MN|=|MF₂|+|NF₂|=4+，由此能求出四邊形PMQN面積的最小值．
解答：解：（1）∵橢圓，離心率為，
F₁，F(xiàn)₂分別為其左右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)P到F₁與F₂距離之和為4，
∴，解得a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
∴橢圓C₁方程為．
（2）設(shè)動(dòng)圓圓心C（x，y），
∵動(dòng)圓過(guò)的右焦點(diǎn)F₂（1，0），且與直線x=-1相切，
∴，
整理，得動(dòng)圓圓心軌跡C方程為y²=4x．
（3）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，|MN|=4，
此時(shí)PQ的長(zhǎng)即為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，|PQ|=4，
從而SPMQN=|MN|•|PQ|=×4×4=8，
設(shè)直線MN的斜率為k，直線MN的方程為：y=k（x-1），
直線PQ的方程為y=（x-1），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
由，消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由拋物線定義可知：
|MN|=|MF₂|+|NF₂|=x₁+1+x₂+1
=+2=4+，
由，消去y得（3k²+4）x²-8x+4-12k²=0，
從而|PQ|=|x3-x4|=，
∴S_PMQN=|MN|•|PQ|=|MN|•|PQ|
=（4+）•
=24•，
令1+k²=t，∵k＞0，則t＞1，
則S_PMQN=
=
=．
因?yàn)?--=4-（1+）²∈（0，3），
所以S_PMQN=＞8，
所以四邊形PMQN面積的最小值為8．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和軌跡方程的求法，考查四邊形面積的最小值的求法．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．