精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
10.在平面直角坐標系中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知直線l的極坐標方程為:ρsinθ+ρcosθ=2,曲線C的極坐標方程為:ρcos2θ=asinθ(a>0),曲線C與直線l的交點為M,N.
(Ⅰ)當a=1時,求直線l和曲線C相交的弦長|MN|;
(Ⅱ)若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0,求△OMN的面積.

分析 (Ⅰ)化極坐標方程為普通方程,當a=1時,直接求直線l和曲線C的解得坐標,然后求解弦長|MN|;
(Ⅱ)聯立直線與拋物線方程,利用向量的數量積,求解弦長MN,清楚圓心到直線的距離即可求解三角形的面積.

解答 解:(Ⅰ)直線l的極坐標方程為:ρsinθ+ρcosθ=2,直線的普通方程為:x+y=2,
曲線C的極坐標方程為:ρcos2θ=asinθ(a>0),它的普通方程為:ay=x2.當a=1時,
:x2+x-2=0,解得x=1或x=-2,曲線C與直線l的交點為M(-2,4),N
(1,1).
∴|MN|=$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$…(5分)
(Ⅱ)把ay=x2代入可得直線l的普通方程x+y=2消去y得
:x2+ax-2a=0,設M(x1,y1),N(x2,y2),x1+x2=-a,x1x2=-2a,則
y1y2=(-x1+2)(-x2+2)=4∴
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0,∴x1x2+y1y2=-2a+4=0,解得a=2,
此時${x_1}+{x_2}=-2,{x_1}{x_2}=-4,|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{{({{x_1}+{x_2}})}^2}-4{x_1}{x_2}}=2\sqrt{5}$.
|MN|=$\sqrt{2}$|x1-x2|=2$\sqrt{10}$.原點到直線的距離為:h=$\frac{|2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$.
∴S△0MN=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{10}$=2$\sqrt{5}$.

點評 本題考試極坐標與普通方程互化,直線與拋物線的位置關系的應用,考查計算能力.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

20.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=AP=2CD=2,M是棱PB上一點.
(Ⅰ)若BM=2MP,求證:PD∥平面MAC;
(Ⅱ)若平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,求證:PA⊥平面ABCD;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若二面角B-AC-M的余弦值為$\frac{2}{3}$,求$\frac{PM}{PB}$的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:選擇題

1.已知角α的正弦線和余弦線長度相等,且α的終邊在第三象限,則tanα等于( 。
A.0B.1C.-1D.$\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

18.如圖,莖葉圖記錄了某城市甲、乙兩個觀測點連續(xù)三天觀測到的空氣質量指數(AQI).乙觀測點記錄中有一個數字模糊無法確認,已知該數是0,1,…,9中隨機的一個數,并在圖中以a表示.
(Ⅰ)若甲、乙兩個觀測點記錄數據的平均值相同,求a的值;
(Ⅱ)當a=2時,分別從甲、乙兩觀測點記錄的數據中各隨機抽取一天的觀測值,記這兩觀測值之差的絕對值為X,求|X|≤2的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:填空題

5.已知$\overrightarrow a,\;\overrightarrow b$為同向單位向量,若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{{1+4{k^2}}}{4k}$(k>0),則k=$\frac{1}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:選擇題

15.若b<a<0,則下列不等式一定成立的是( 。
A.a3<b3B.ab>b2C.ac2>bc2D.$\frac{1}{a}$<$\frac{1}$

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

2.某用水量較大的企業(yè)為積極響應政府號召的“節(jié)約用水,我們共同的責任”的倡議,對生產設備進行技術改造,下表提供了該企業(yè)節(jié)約用水技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產用水y(噸)的幾組對照數據:
x1234
y0.40.91.11.6
(1)若x,y之間是線性相關,請根據表中提供的數據,求y關于x的線性回歸方程y=bx+a;
(2)已知該廠技術改造前100噸甲產品的生產用水為120噸,試根據(1)中求出的線性回歸方程,預測技術改造后生產100噸甲產品的用水量比技術改造前減少了多少噸?
(參考公式:$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{1}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\stackrel{-2}{x}}$,$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$)

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

19.在平面直角坐標系xoy中,已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y2=1的左、右頂點分別為A1,A2,點P(x0,y0),Q(x0,-y0)是雙曲線上不同的兩個動點.
(1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程;
(2)過坐標原點O作一條直線交軌跡E于A,B兩點,過點B作x軸的垂線,垂足為點C,連AC交軌跡E于點D,求證:AB⊥BD.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

20.已知函數f(x)=ax3+bx2+cx,其導函數為f′(x)的部分值如表所示:
x-3-201348
f'(x)-24-10680-10-90
根據表中數據,回答下列問題:
(Ⅰ)實數c的值為6;當x=3時,f(x)取得極大值(將答案填寫在橫線上).
(Ⅱ)求實數a,b的值.
(Ⅲ)若f(x)在(m,m+2)上單調遞減,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案