Question

已知函數(shù)
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）求證：不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論：若a≤0，則f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；若a＞0，令f′（x）＞0，可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0，可得單調(diào)減區(qū)間；
（II）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）==，令g（x）=（x-1）²-x（lnx）²，g'（x）=2（x-1）-（lnx）²-2lnx，g“（x）=，設(shè)h（x）=x-lnx-1，x∈（1，2），證明h（x）在（1，2）上單調(diào)增，從而可得g'（x）在（1，2）上單調(diào)增，進(jìn)一步可得g（x）在（1，2）上單調(diào)增f（x）在（1，2）上單調(diào)減，即可得到結(jié)論．
解答：（I）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得（x＞0）
若a≤0，則f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）
若a＞0，令f′（x）＞0，可得x＞a，令f′（x）＜0，可得0＜x＜a，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，a）；
（II）證明：設(shè)，求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）==
令g（x）=（x-1）²-x（lnx）²，g'（x）=2（x-1）-（lnx）²-2lnx，g“（x）=，
設(shè)h（x）=x-lnx-1，x∈（1，2），h'（x）=1-＞0，
∴h（x）在（1，2）上單調(diào)增，∴h（x）＞h（1）=0，
∴g“（x）＞0，g'（x）在（1，2）上單調(diào)增，∴g'（x）＞g'（1）=0，
∴g（x）在（1，2）上單調(diào)增，∴g（x）＞g（1）=0，
∴f'（x）＜0，∴f（x）在（1，2）上單調(diào)減，f（x）＜f（2）＜0，
∴
∴．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性．