Question

已知點P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)右支上一點，F(xiàn)₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點．I為△PF₁F₂內(nèi)心，若S△IPF1=S△IPF2+

1

2

S△IF1F2，則雙曲線的離心率為

2

．

Answer 1

分析：設(shè)圓I與△PF₁F₂的三邊F₁F₂、PF₁、PF₂分別相切于點E、F、G，連接IE、IF、IG，可得△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂可看作三個高相等且均為圓I半徑r的三角形．利用三角形面積公式，代入已知式S△IPF1=S△IPF2+

1

2

S△IF1F2，化簡可得|PF₁|-|PF₂|=

1

2

|F₁F₂|，再結(jié)合雙曲線的定義與離心率的公式，可求出此雙曲線的離心率．

解答：解：如圖，設(shè)圓I與△PF₁F₂的三邊F₁F₂、PF₁、PF₂分別相切于點E、F、G，連接IE、IF、IG，
則IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，它們分別是
△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴S△IPF1=

1

2

×|PF₁|×|IF|=

r

2

|PF₁|，
S△IPF2=

1

2

×|PF₂|×|IG|=

r

2

|PF₂|
S△IF1F2=

1

2

×|F₁F₂|×|IE|=

r

2

|F₁F₂|，其中r是△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑．
∵S△IPF1=S△IPF2+

1

2

S△IF1F2
∴

r

2

|PF₁|=

r

2

|PF₂|+

r

4

|F₁F₂|
兩邊約去

r

2

得：|PF₁|=|PF₂|+

1

2

|F₁F₂|
∴|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|
根據(jù)雙曲線定義，得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴2a=c⇒離心率為e=

c

a

=2
故答案為：2．

點評：本題將三角形的內(nèi)切圓放入到雙曲線當(dāng)中，用來求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的基本性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)和面積計算公式等知識點，屬于中檔題．