Question

已知三邊長(zhǎng)分別為3、4、5的△ABC的外接圓恰好是球O的一個(gè)大圓，P為球面上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則三棱錐P-ABC的體積為（　�。�

A．5

B．10

C．20

D．30

Answer 1

分析：由題意可知△ABC為直角三角形，則其外接圓的圓心在AB的中點(diǎn)上，再由P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等可得P在面ABC上的射影為球的球心，然后直接利用棱錐的體積公式求解．

解答：解：如圖，
在△ABC中，不妨設(shè)AB=5，AC=3，BC=4．
則∠ACB=90°，∴△ABC的外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，
即球的球心為AB的中點(diǎn)，
又P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，
∴P在平面ABC上的射影到A、B、C的距離相等，
∴O為P在平面ABC上的射影，則OP⊥面ABC，
又P在球面上，∴OP為球的半徑，∴OP=

5

2

．
∴VP-ABC=

1

3

S△ABC•OP=

1

3

×

1

2

×3×4×

5

2

=5．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了棱錐的體積，考查了空間想象能力和思維能力，正確作出圖形對(duì)解答有很好的幫助作用，是基礎(chǔ)題．