Question

設(shè)a＞0，且a≠1，f（x）=

1

3x+ 3

．
（1）求值：f（0）+f（1），f（-1）+f（2）；
（2）由（1）的結(jié)果歸納概括對所有實數(shù)x都成立的一個等式，并加以證明；
（3）若n∈N^*，求和：f（-99）+f（-98）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100）．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法,函數(shù)的值

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用f（x）=

1

3x+ 3

，代入計算，即可求值：f（0）+f（1），f（-1）+f（2）；
（2）由（1）歸納得到對一切實數(shù)x，有f（x）+f（1-x）=

3

3

，再利用條件進行證明即可；
（3）倒序，利用（2）的結(jié)論即可求和：f（-99）+f（-98）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100）．

解答： 解：（1）f（0）+f（1）=

1

1+ 3

+

1

3+ 3

=

1

3

=

3

3

，
f（-1）+f（2）=

1

3-1+ 3

+

1

32+ 3

=

1

3

=

3

3

.2分
（2）由（1）歸納得到對一切實數(shù)x，有f（x）+f（1-x）=

3

3

.4分
證明：f（x）+f（1-x）=

1

3x+ 3

+

1

31-x+ 3

=

1

3x+ 3

+

3x

3 ( 3 +3x)

=

3 +3x

3 ( 3 +3x)

=

1

3

=

3

3

.7分
（3）設(shè)S=f（-99）+f（-98）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100），
又S=f（100）+f（99）+…+f（1）+f（0）+f（-1）+…+f（-99），
兩式相加，得（由（2）的結(jié)論）2S=200×

3

3

，
∴S=

100 3

3

.12分．

點評：本題考查求函數(shù)的值，考查倒序相加法，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．