已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),M、N兩點(diǎn)在橢圓C上,且=λ(λ>0),定點(diǎn)A(-4,0).
(1)求證:當(dāng)λ=1時,
(2)若當(dāng)λ=1時,有·,求橢圓C的方程..
(1)見解析(2)=1
(1)證明:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),F(xiàn)(c,0),則=(c-x1,-y1),=(x2-c,y2).當(dāng)λ=1時,,∴-y1=y(tǒng)2,x1+x2=2c.∵M(jìn)、N兩點(diǎn)在橢圓C上,∴=a2,=a2,∴.若x1=-x2,則x1+x2=0≠2c(舍去),∴x1=x2,∴=(0,2y2),=(c+4,0),∴·=0,∴.
(2)解:當(dāng)λ=1時,由(1)知x1=x2=c,
∴M,N,∴,
·=(c+4)2.(*)
,∴a2c2,b2,代入(*)式得c2+8c+16=,∴c=2或c=-(舍去).∴a2=6,b2=2,∴橢圓C的方程為=1
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:()的短軸長為2,離心率為
(1)求橢圓C的方程
(2)若過點(diǎn)M(2,0)的引斜率為的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)G、H,設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn),且滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)時,求實(shí)數(shù)的取值范圍?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若兩曲線在交點(diǎn)P處的切線互相垂直,則稱該兩曲線在點(diǎn)P處正交,設(shè)橢圓與雙曲線在交點(diǎn)處正交,則橢圓的離心率為(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,動點(diǎn)M為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)(異于右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)),設(shè)線段FM交橢圓C于點(diǎn)P,已知橢圓C的離心率為,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線PA的斜率為k1,直線MA的斜率為k2,求k1·k2的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知橢圓=1(a>b>0),F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),A為橢圓的上頂點(diǎn),直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.

(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;
(2)若=2,·,求橢圓的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

設(shè)F1、F2分別是橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),若在直線x=上存在點(diǎn)P,使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2,則橢圓的離心率的取值范圍是________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

離心率為的橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn),且橢圓長軸的端點(diǎn),短軸的端點(diǎn),焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離依次構(gòu)成等差數(shù)列,則雙曲線的離心率等于(      )
A    B.   C.    D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓x2+2y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P是該橢圓上的一個動點(diǎn),則的最小值是    .

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

方程=1表示橢圓,則k的取值范圍是________.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案