【題目】如圖,四棱錐中,底面是平行四邊形,在平面上的射影為,且在上,且, ,是的中點,四面體的體積為.
(Ⅰ)求異面直線與所成的角余弦值;
(Ⅱ)求點到平面的距離;
(Ⅲ)若點是棱上一點,且,求的值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)先利用等體積法求出的長,在平面內, 過點作交于,連接,則(或其補角)就是異面直線與所成的角,在中利用余弦定理求出此角即可;(Ⅱ)在平面內,過作,交延長線于,則平面推得的長就是點到平面的距離,在利用邊角關系求出長; (Ⅲ)在平面內,過作,為垂足,連接,先證明,然后利用三角形相似對應邊成比例建立等量關系即可.
(I)由已知,
∴.
在平面內,過點作交于,連接,則(或其補角)就是異面直線與所成的角.
在中,,
由余弦定理得, ,
∴異面直線與所成的角的余弦值為.
(II)∵平面,平面∴平面平面,
在平面內,過作,交延長線于,則平面∴的長就是點到平面的距離.
∵.
在,,∴點到平面的距離為.
(III)在平面內,過作,為垂足,連接,
又因為,
∴平面,平面,∴.
由平面平面,∴平面∴;
由得: .
∵,∴由可得.
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【題目】如圖,已知橢圓,分別為其左、右焦點,過的直線與此橢圓相交于兩點,且的周長為8,橢圓的離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)在平面直角坐標系中,已知點與點,過的動直線(不與軸平行)與橢圓相交于兩點,點是點關于軸的對稱點.求證:
(i)三點共線.
(ii).
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【題目】設函數(shù), ().
(Ⅰ)若直線和函數(shù)的圖象相切,求的值;
(Ⅱ)當時,若存在正實數(shù),使對任意,都有恒成立,求的取值范圍.
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【題目】如圖,已知圓:,點是圓內一個定點,點是圓上任意一點,線段的垂直平分線和半徑相交于點.當點在圓上運動時,點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設過點的直線與曲線相交于兩點(點在兩點之間).是否存在直線使得?若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】某城市為鼓勵人們綠色出行,乘坐地鐵,地鐵公司決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實施分段優(yōu)惠政策,不超過站的地鐵票價如下表:現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵,已知他們乘坐地鐵都不超過站,且他們各自在每個站下車的可能性是相同的.
(1)若甲、乙兩人共付費元,則甲、乙下車方案共有多少種?
(2)若甲、乙兩人共付費元,求甲比乙先到達目的地的概率.
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【題目】某公司為了解用戶對其產品的滿意度,從某地區(qū)隨機調查了100個用戶,得到用戶對產品的滿意度評分頻率分布表如下:
組別 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第一組 | 10 | 0.1 | |
第二組 | 20 | 0.2 | |
第三組 | 40 | 0.4 | |
第四組 | 25 | 0.25 | |
第五組 | 5 | 0.05 | |
合計 | 100 | 1 |
(1)根據(jù)上面的頻率分布表,估計該地區(qū)用戶對產品的滿意度評分超過70分的概率;
(2)請由頻率分布表中數(shù)據(jù)計算眾數(shù)、中位數(shù),平均數(shù),根據(jù)樣本估計總體的思想,若平均分低于75分,視為不滿意.判斷該地區(qū)用戶對產品是否滿意?
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【題目】某學習合作小組學習了祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”,意思是夾在兩個平行平面間的兩個幾何體,被平行于這兩個平行平面的任何平面所截,如果截得兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等.利用祖暅原理研究橢圓繞軸旋轉一周所得到的橢球體的體積,方法如下:取一個底面圓半徑為高為的圓柱,從圓柱中挖去一個以圓柱上底面為底面,下底面圓心為頂點的圓錐,把所得的幾何體和半橢球體放在同一平面上,那么這兩個幾何體也就夾在兩個平行平面之間了,現(xiàn)在用一平行于平面的任意一個平面去截這兩個幾何體,則截面分別是圓面和圓環(huán)面,經(jīng)研究,圓面面積和圓環(huán)面面積相等,由此得到橢球體的體積是__________.
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