Question

12．下列說法中：
①函數(shù)y=log₂（2x-x²）的單調遞增區(qū)間是（-∞，1）；
②若不等式x²+2ax-a≥0對x∈R恒成立，則a的取值范圍為[-1，0]；
③已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-2）x+6a-1（x＜1）}\\{{a}^{x}（x≥1）}\end{array}\right.$，在（-∞，+∞）上單調遞減，那么實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{3}{8}$，$\frac{2}{3}$）；
④函數(shù)f（x）=x²+ax+3（a∈R）在x∈[-1，1]上的最小值是1，則a=3或a=-3．
其中正確說法的序號有②④（注：把你認為是正確的洗好都填上）

Answer 1

分析 根據(jù)復合函數(shù)的單調性，和對數(shù)函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的單調區(qū)間，可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質，求出a的取值范圍，可判斷②；根據(jù)分段函數(shù)的單調性，求出a的取值范圍，可判斷③；據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質，求出a的值，可判斷④．

解答 解：①函數(shù)y=log₂（2x-x²）的定義域為（-∞，0）∪（2，+∞），
當x∈（-∞，0）時，t=2x-x²為增函數(shù)，y=log₂t為增函數(shù)，函數(shù)y=log₂（2x-x²）為增函數(shù)，
故單調遞增區(qū)間時（-∞，0），故錯誤；
②若不等式x²+2ax-a≥0對x∈R恒成立，則△=4a²+4a≤0，解得：a∈[-1，0]，故正確；
③函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-2）x+6a-1（x＜1）}\\{{a}^{x}（x≥1）}\end{array}\right.$，在（-∞，+∞）上單調遞減，則$\left\{\begin{array}{l}3a-2＜0\\ 0＜a＜1\\ 3a-2+6a-1≥a\end{array}\right.$，解得a∈[$\frac{3}{8}$，$\frac{2}{3}$），故錯誤；
④函數(shù)f（x）=x²+ax+3（a∈R）在x∈[-1，1]上的最小值是1，
若$-\frac{a}{2}$≥1，即a≤-2，則f（1）=4+a=1，解得：a=-3；
若-1＜$-\frac{a}{2}$＜1，即-2＜a＜2，則f（$-\frac{a}{2}$）=3-$\frac{{a}^{2}}{4}$=1，解得：a=-2$\sqrt{2}$（舍去）；
若$-\frac{a}{2}$≤-1，即a≥2，則f（-1）=4-a=1，解得：a=3；
則a=3或a=-3．故正確；
故正確的說法為：②④，
故答案為：②④

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合函數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質，分段函數(shù)的單調性，難度中檔．