Question

（本小題滿分14分）已知關(guān)于x的函數(shù).

（I）求函數(shù)在點處的切線方程；

（II）求函數(shù)有極小值，試求a的取值范圍；

（III）若在區(qū)間上，函數(shù)不出現(xiàn)在直線的上方，試求a的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（III）的最大值為0．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行求解；（Ⅱ）求導(dǎo)，討論二次方程的二次項系數(shù)的符號與兩根的大小進行求解；（III）構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.

試題解析：（Ⅰ）

又

所以在點P（1,0）處的切線方程為. ４分

（Ⅱ） ５分

令

(i)時無解，無極小值；

(ii) 時，，所以有兩解，且；

時，

時，

此時，無極小值. ７分

(iii) 時, 因為,的對稱軸為,要使函數(shù)有極小值,則即 或

此時有兩解，不妨設(shè)設(shè)， 則 時，

時，此時，有極小值. ９分

綜上所述，. 10分

（Ⅲ）由題意，

即 11分

下證：

記

則

時，

時，

即 12分

(i) 時，

(ii) 時，取，

則

與題意矛盾.

故的最大值為0.

考點：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.函數(shù)的極值與最值；3.分類討論思想.