Question

【題目】甲、乙兩隊(duì)參加聽(tīng)歌猜歌名游戲，每隊(duì)3人．隨機(jī)播放一首歌曲，參賽者開(kāi)始搶答，每人只有一次搶答機(jī)會(huì)（每人搶答機(jī)會(huì)均等），答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為 ，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為 ， ， ，且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．
（Ⅰ）若比賽前隨機(jī)從兩隊(duì)的6個(gè)選手中抽取兩名選手進(jìn)行示范，求抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲隊(duì)的總得分，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）求兩隊(duì)得分之和大于4的概率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）6個(gè)選手中抽取兩名選手共有 =15種結(jié)果， 抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)包括同在甲隊(duì)或乙隊(duì)，共有： =6種結(jié)果，
用A表示事件：“從兩隊(duì)的6個(gè)選手中抽取兩名選手，求抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)”
P（A）= = ．
故從兩隊(duì)的6個(gè)選手中抽取兩名選手進(jìn)行示范，抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)的概率為 ．
（Ⅱ）由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且～B（3， ），
P（ξ=0）= ，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= = ，
P（ξ=3）= （ ）3= ．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）=0× +1× +2× +3× =2．
（Ⅲ）用B表示事件：兩隊(duì)得分之和大于4包括：兩隊(duì)得分之和為5，兩隊(duì)得分之和為6，
用A1表示事件：兩隊(duì)得分之和為5，包括甲隊(duì)3分乙隊(duì)2分和乙隊(duì)3分甲隊(duì)2分．
P（A1）= （ + + ）+ = ，
用A2表示事件：兩隊(duì)得分之和為6，甲隊(duì)3分乙隊(duì)3分，
則P（A2）= = ，
P（B）=P（A1）+P（A2）= =
【解析】（Ⅰ）6個(gè)選手中抽取兩名選手共有 種結(jié)果，抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)包括同在甲隊(duì)或乙隊(duì)，共有 種結(jié)果，由此能求出從兩隊(duì)的6個(gè)選手中抽取兩名選手進(jìn)行示范，抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)的概率．（Ⅱ）由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且～B（3， ），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．（Ⅲ）用B表示事件：兩隊(duì)得分之和大于4包括：兩隊(duì)得分之和為5，兩隊(duì)得分之和為6，用A1表示事件：兩隊(duì)得分之和為5，包括甲隊(duì)3分乙隊(duì)2分和乙隊(duì)3分甲隊(duì)2分．用A2表示事件：兩隊(duì)得分之和為6，甲隊(duì)3分乙隊(duì)3分，由P（B）=P（A1）+P（A2），能求出兩隊(duì)得分之和大于4的概率．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的離散型隨機(jī)變量及其分布列，需要了解在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列才能得出正確答案．