Question

【題目】設函數(shù)，．

（1）當（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的最小值；

（2）討論函數(shù)零點的個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）的最小值是；（2）當時，函數(shù)無零點；當或時，函數(shù)有且只有一個零點；當時，函數(shù)有且只有兩個零點．

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)的導數(shù) ，函數(shù)的極值點為 ，所以得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，也就得到函數(shù)的最小值了；（2）根據(jù) ，參變分離后得到 ，設 ，通過導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，以及圖象特征，轉(zhuǎn)化為 與函數(shù)的交點個數(shù)問題.

試題解析：(1)當時，，∴

當時，，在上是減函數(shù)；

當時，，在上是增函；

∴當時，取最小值．

（2）∵函數(shù)，

令，得；

設，則

當時，，在上是增函數(shù)；

當時，，在上是減函數(shù)；

當是的極值點，且是唯一極大值點，∴是的最大值點；

∴的最大值為，又結(jié)合的圖像，

可知：

①當時，函數(shù)無零點；

②當時，函數(shù)有且只有一個零點；

③當時，函數(shù)有兩個零點；

④當時，函數(shù)有且只有一個零點；

綜上：

當時，函數(shù)無零點；當或時，函數(shù)有且只有一個零點；當時，函數(shù)有且只有兩個零點.