Question

如圖，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M為BC的中點．
（Ⅰ）證明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求二面角P-AM-D的大小；
（Ⅲ）求直線PD與平面PAM所成角的正弦值．

Answer 1

（方法一）
（Ⅰ）證明：取DC的中點N，連接PN，AN，NM．
因為PD=PC，所以PN⊥DC
又因為PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，
所以PN⊥平面ABCD，
所以PN⊥AM．因為AN=3，MN=，AM=，
所以NM⊥AM，
又因為PN∩NM=N，所以AM⊥PM．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AM⊥PM且NM⊥AM，
所以∠PMN為二面角P-AM-D的平面角，
又因為PN=NM=，
所以∠PMN=45°．即二面角P-AM-D的大小為45°．
（Ⅲ）設(shè)點D到平面PAM的距離為d，
因為V_P-AMD=V_D-PAM，
所以，
求得d=，即點D到平面PAM的距離為．
設(shè)直線PD與平面PAM所成角為θ，
則=，
故直線PD與平面PAM所成角的正弦值為．

（方法二）（Ⅰ） 證明 以D點為原點，分別以直線DA、DC為x軸、y軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，
依題意，可得D（0，0，0），P（0，1，），C（0，2，0），
A（2，0，0），M（，2，0），
∴，
，
∴=-2+2+0=0，
即，∴AM⊥PM．
（Ⅱ）解 設(shè)，
且平面PAM，
則，
∴，
，
取，
顯然平面ABCD，
∴cos＜＞=．
結(jié)合圖形可知，二面角P-AM-D為45°．
（Ⅲ） 設(shè)直線PD與平面PAM所成角為θ，
則
故直線PD與平面PAM所成角的正弦值為．
分析：法一：（Ⅰ）取DC的中點N，連接PN，AN，NM．因為PD=PC，所以PN⊥DC．因為PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，所以PN⊥平面ABCD．由此能夠證明AM⊥PM．
（Ⅱ）由AM⊥PM且NM⊥AM，知∠PMN為二面角P-AM-D的平面角，由此能求出二面角P-AM-D的大小．
（Ⅲ）設(shè)點D到平面PAM的距離為d，由V_P-AMD=V_D-PAM，求得d=，所以點D到平面PAM的距離為．由此能求出直線PD與平面PAM所成角的正弦值．
法二：（Ⅰ）以D點為原點，分別以直線DA、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標系D-xyz，得D（0，0，0），P（0，1，），C（0，2，0），A（2，0，0），M（，2，0），由=0，得到AM⊥PM．
（Ⅱ）設(shè)，且平面PAM，由，得，取，顯然平面ABCD，由向量法能得到二面角P-AM-D的大小．
（Ⅲ） 設(shè)直線PD與平面PAM所成角為θ，由向量法能求出直線PD與平面PAM所成角的正弦值．
點評：本題考查異面直線垂直的證明，求二面角的大小，求直線與平面所成角的正弦值．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．