Question

8．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S₄≥10，S₅≤15，則a₄的最大值為4．

Answer 1

分析 S₄≥10，S₅≤15，可得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+3d≥5}\\{{a}_{1}+2d≤3}\end{array}\right.$．令a₄=a₁+3d=m（2a₁+3d）+n（a₁+2d）=（2m+n）a₁+（3m+2n）d，可得$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=1}\\{3m+2n=3}\end{array}\right.$，解出m，n即可得出．

解答 解：∵S₄≥10，S₅≤15，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d≥10}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d≤15}\end{array}\right.$，化為$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+3d≥5}\\{{a}_{1}+2d≤3}\end{array}\right.$．
令a₄=a₁+3d=m（2a₁+3d）+n（a₁+2d）=（2m+n）a₁+（3m+2n）d，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=1}\\{3m+2n=3}\end{array}\right.$，
解得m=-1，n=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2{a}_{1}-3d≤-5}\\{3{a}_{1}+6d≤9}\end{array}\right.$，
∴a₄=a₁+3d≤4，
∴a₄的最大值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．