【題目】已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當時，證明：函數(shù)只有一個零點；

（2）若函數(shù)存在兩個不同的極值點，，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

(1)對函數(shù)求導得到函數(shù)的單調(diào)性，進而得到函數(shù)的最值，發(fā)現(xiàn)函數(shù)最大值等于0，從而得證；（2）原題等價于導函數(shù)存在兩個變號零點，對導函數(shù)求導研究導函數(shù)的單調(diào)性，和圖像性質(zhì)，使得導函數(shù)有兩個零點，進而得到結果.

（1）由題知：，

令，，

當，，所以在上單調(diào)遞減.

因為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，故只有一個零點.

（2）由（1）知：不合題意，

當時，因為，；，；

又因為，所以；

又因為，

因為函數(shù)，，，

所以，即，

所以存在，滿足，

所以，；，；，；

此時存在兩個極值點，0，符合題意.

當時，因為，；，；所以；

所以，即在上單調(diào)遞減，

所以無極值點，不合題意.

綜上可得：.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若圓經(jīng)過坐標原點和點，且與直線相切， 從圓外一點向該圓引切線，為切點，

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）已知點，且， 試判斷點是否總在某一定直線上，若是，求出的方程；若不是，請說明理由；

（Ⅲ）若（Ⅱ）中直線與軸的交點為，點是直線上兩動點，且以為直徑的圓過點，圓是否過定點？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】關于曲線的下列說法：（1）關于點對稱；（2）關于直線軸對稱；（3）關于直線對稱；（4）是封閉圖形，面積小于；（5）是封閉圖形，面積大于；（6）不是封閉圖形，無面積可言.其中正確的序號是________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】直線與圓相交于兩點，若，為圓上任意一點，則的取值范圍是______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列和滿足：，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列．

（1）行列式，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）在（1）的條件下，若不是常數(shù)列，是等比數(shù)列，

①求和的通項公式；

②設是正整數(shù)，若存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知圓的方程為，圓的方程為，若動圓與圓內(nèi)切，與圓外切．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）過直線上的點作圓的兩條切線，設切點分別是，，若直線與軌跡交于，兩點，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面，四棱錐的體積，是的中點.

（1）求異面直線與所成角的大��；

（2）求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列的前項和為，集合，集合B＝{x2﹣y2＝1，x，y∈R}，請判斷下列三個命題的真假.若為真，請給予證明；若為假，請舉出反例.

（1）以集合中的元素為坐標的點均在同一條直線上；

（2）A∩B至多有一個元素；

（3）當a1≠0時，一定有A∩B≠．.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中,長度為2的線段EF的兩端點E、F分別在兩坐標軸上運動.

(1)求線段EF的中點G的軌跡C的方程；

(2)設軌跡C與軸交于兩點,P是軌跡C上異于的任意一點,直線交直線于M點,直線交直線于N點,求證:以MN為直徑的圓C總過定點,并求出定點坐標.

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