Question

如圖，已知扇形AOB的半徑為1，中心角為60°，四邊形PQRS是扇形的內(nèi)接矩形，P為

AB

上一動點，問：點P在怎樣的位置時，矩形PQRS的面積的最大？并求出這個最大值．

Answer 1

考點：已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題

專題：計算題,解三角形

分析：如圖先用所給的角將矩形的面積表示出來，建立三角函數(shù)模型，再根據(jù)所建立的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值．

解答： 解：如圖，在Rt△OPS中，設(shè)∠POS=α，則OS=cosα，PS=sinα，
在Rt△ORQ中，

QR

OR

=tan60°=

3

，所以O(shè)R=

3

3

QR=

3

3

sinα．
∴RS=OS-OR=cosα-

3

3

sinα．
設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S=RS•BRQ=（cosα-

3

3

sinα）sinα
=sinαcosα-

3

3

sin²α
=

1

2

sin2α+

3

6

cos2α-

3

6

=

3

3

（

3

2

sin2α+

1

2

cos2α）-

3

6

=

3

3

sin（2α+

π

6

）-

3

6

．
由于0＜α＜

π

3

，所以當(dāng)2α+

π

6

=

π

2

，即α=

π

6

時，S_最大=

3

3

-

3

6

=

3

6

．
因此，當(dāng)α=

π

6

時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為

3

6

．

點評：本題考查在實際問題中建立三角函數(shù)模型，求解問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型，將三角模型用所學(xué)的恒等式變換公式進(jìn)行化簡．