Question

如圖，設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，且A、B兩點坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＜0，P是此拋物線的準(zhǔn)線上的一點，O是坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求證：y₁y₂=-p²；
（Ⅱ）直線PA、PF、PB的方向向量為（1，a）、（1，b）、（1，c），求證：實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列；
（Ⅲ）若．

Answer 1

【答案】分析：（I）（1）當(dāng)直線AB的斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為：，由此可知y₁y₂=-p²（1分）
（2）當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)直線AB方程為：，則由所以y₁y₂=-p²（3分）
（Ⅱ）由已知a=k_PA，b=k_PF，c=k_PB，設(shè)，所以．由此入手可知a、b、c成等差數(shù)列．
（Ⅲ）由題意知a•c=-1，a-b=b-c．再由k_AB的取值范圍分別進(jìn)行討論，可以推導(dǎo)出θ=|α-β|．
解答：證明：（I）（1）當(dāng)直線AB的斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為：，
則，∴y₁y₂=-p²（1分）
（2）當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)直線AB方程為：，
則由∴y₁y₂=-p²（3分）
（Ⅱ）由已知a=k_PA，b=k_PF，c=k_PB，
設(shè)∴
故
=
=
=
=
∴a、b、c成等差數(shù)列（8分）
（Ⅲ）∵
∴PA⊥PB，故a•c=-1
由（Ⅱ）可知a+c=2b，即a-b=b-c
①若AB⊥x軸，則α=β=45°，θ=0°∴θ=α-β
②若k_AB＞0，則
同理可得tanβ=α
∴
即|tan（α-β）|=|b|=tanθ
易知∠PFO，∠BPF，∠APF都是銳角∴θ=|α-β|
③若k_AB＜0，類似的也可證明θ=|α-β|
總上所述，θ=|α-β|（14分）
點評：本題考查圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，結(jié)合圖形效果會更好．