Question

已知函數(shù)f（x）=x（1+a|x|），設(shè)關(guān)于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集為A，若[-

1

2

，

1

2

]⊆A，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意可得，在[-

1

2

，

1

2

]上，函數(shù)y=f（x+a）的圖象應(yīng)在函數(shù)y=f（x）的圖象的下方．當(dāng)a=0或 a＞0時(shí)，檢驗(yàn)不滿足條件．當(dāng)a＜0時(shí)，應(yīng)有f（-

1

2

+a）＜f（-

1

2

），化簡(jiǎn)可得 a²-a-1＜0，解得

1- 5

2

＜a＜

1+ 5

2

，由此求得a的范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x（1+a|x|）=

ax2+x  ，x≥0 -ax2+x  ，x＜0

，
關(guān)于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集為A，若[-

1

2

，

1

2

]⊆A，
則在[-

1

2

，

1

2

]上，函數(shù)y=f（x+a）的圖象應(yīng)在函數(shù)y=f（x）的圖象的下方．
當(dāng)a=0時(shí)，顯然不滿足條件．
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x+a）的圖象是把函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移a個(gè)單位得到的，
結(jié)合圖象（右上方）可得不滿足函數(shù)y=f（x+a）的圖象在函數(shù)y=f（x）的圖象下方．
當(dāng)a＜0時(shí)，如圖所示，要使在[-

1

2

，

1

2

]上，函數(shù)y=f（x+a）的圖象在函數(shù)y=f（x）的圖象的下方，
只要f（-

1

2

+a）＜f（-

1

2

）即可，即-a (-

1

2

+a)2+（-

1

2

+a）＜-a(-

1

2

)2-

1

2

，
化簡(jiǎn)可得 a²-a-1＜0，解得

1- 5

2

＜a＜

1+ 5

2

，故此時(shí)a的范圍為（

1- 5

2

，0）．
綜上可得，a的范圍為（

1- 5

2

，0），
故答案為：（

1- 5

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，注意排除法在解決選擇題中的應(yīng)用，屬于中檔題．