【題目】如圖1,梯形中, 為中點.將沿翻折到的位置,如圖2.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)設分別為和的中點,試比較三棱錐和三棱錐(圖中未畫出)的體積大小,并說明理由.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)體積相等.
【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意,利用線面垂直的判定定理,證得平面,再利用面面垂直的判定定理,即可證得,所以平面 平面.
(Ⅱ)根據(jù)題設中的垂直關系,建立空間直角坐標系,求出平面和平面的各自一個法向量,利用向量所成的角,即可求解線面角的正弦值.
(Ⅲ)方法一:先證得平面,可得點到平面的距離相等,即可得到三棱錐和同底等高,所以體積相等;
方法二:取中點,連接, , ,分別得到, ,進而證得平面,即可點、到平面的距離相等,所以三棱錐和同底等高,所以體積相等;
試題解析:
(Ⅰ)證明:因為, , , , 平面
所以平面因為平面,所以平面 平面
(Ⅱ)解:在平面內(nèi)作,
由平面,建系如圖.
則, , , , . , , ,
設平面的法向量為,則
,即,令得, ,
所以是平面的一個方向量.
所以與平面所成角的正弦值為.
(Ⅲ)解:三棱錐和三棱錐的體積相等.
理由如:
方法一:由, ,知,則
因為平面,所以平面.
故點、到平面的距離相等,有三棱錐和同底等高,所以體積相等.
方法二:如圖,取中點,連接, , .
因為在中, , 分別是, 的中點,所以
因為在正方形中, , 分別是, 的中點,所以
因為, , 平面, , 平面
所以平面 平面
因為平面,所以平面
故點、到平面的距離相等,有三棱錐和同底等高,所以體積相等.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富,除了可以很方便地網(wǎng)購,網(wǎng)上叫外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分,為了解網(wǎng)絡外賣在市的普及情況, 市某調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡進行了關于網(wǎng)絡外賣的問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)民中抽取了200人進行抽樣分析,得到表格(單位:人).
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為市使用網(wǎng)絡外賣的情況與性別有關?
(2)①現(xiàn)從所抽取的女網(wǎng)民中利用分層抽樣的方法再抽取5人,再從這5人中隨機選出了3人贈送外賣優(yōu)惠券,求選出的3人中至少有2人經(jīng)常使用網(wǎng)絡外賣的概率;
②將頻率視為概率,從市所有參與調(diào)查的網(wǎng)民中隨機抽取10人贈送禮品,記其中經(jīng)常使用網(wǎng)絡外賣的人數(shù)為,求的數(shù)學期望和方差.
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學中的一個典型函數(shù),若,則稱為狄利克雷函數(shù).對于狄利克雷函數(shù),給出下面4個命題:①對任意,都有;②對任意,都有;③對任意,都有, ;④對任意,都有.其中所有真命題的序號是( )
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列中, , 成等差數(shù)列;數(shù)列中的前項和為, .
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某協(xié)會對,兩家服務機構(gòu)進行滿意度調(diào)查,在,兩家服務機構(gòu)提供過服務的市民中隨機抽取了人,每人分別對這兩家服務機構(gòu)進行獨立評分,滿分均為分.整理評分數(shù)據(jù),將分數(shù)以為組距分成組:,,,,,,得到服務機構(gòu)分數(shù)的頻數(shù)分布表,服務機構(gòu)分數(shù)的頻率分布直方圖:
定義市民對服務機構(gòu)評價的“滿意度指數(shù)”如下:
分數(shù) | |||
滿意度指數(shù) | 0 | 1 | 2 |
(1)在抽樣的人中,求對服務機構(gòu)評價“滿意度指數(shù)”為的人數(shù);
(2)從在,兩家服務機構(gòu)都提供過服務的市民中隨機抽取人進行調(diào)查,試估計對服務機構(gòu)評價的“滿意度指數(shù)”比對服務機構(gòu)評價的“滿意度指數(shù)”高的概率;
(3)如果從,服務機構(gòu)中選擇一家服務機構(gòu),以滿意度出發(fā),你會選擇哪一家?說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的首項a1=1,an+1= (n∈N*).
(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)設bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校初三年級有名學生,隨機抽查了名學生,測試分鐘仰臥起坐的成績(次數(shù)),將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.用樣本估計總體,下列結(jié)論正確的是( )
A. 該校初三年級學生分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為次
B. 該校初三年級學生分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為次
C. 該校初三年級學生分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過次的人數(shù)約有人
D. 該校初三年級學生分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于次的人數(shù)約為人.
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