Question

如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（a＞b），在AB、AD、CD、CB上分別截取AE、AH、CG、CF都等于x，當(dāng)x取何值時，四邊形EFGH的面積最大？并求出這個最大面積．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先表示出面積，再分類討論，即可求出四邊形EFGH的面積最大．

解答： 解：S△EHA=S△CGF=

1

2

x2（2分）S△BEF=S△DHG=

1

2

(a-x)(b-x)（2分）
∴S_{平行四邊形EFGH}=ab-2[

1

2

x2+

1

2

(a-x)(b-x)]=-2x²+（a+b）x（0＜x≤b）（6分）
S=-2(x-

a+b

4

)2+

(a+b)2

8

由0＜x≤b及a＞b＞0得0＜b＜

a+b

2

（ⅰ）若

a+b

4

≤b，即a≤3b時，x=

a+b

4

時S取得最大值

(a+b)2

8

（9分）
（ⅱ）若

a+b

4

＞b，即a＞3b，函數(shù)S(x)在(0，b]上是增函數(shù)，
 因此，當(dāng)x=b時，面積S取得最大值ab-b²（13分）
答：（�。�當(dāng)

a+b

4

≤b，x取

a+b

4

時，四邊形EFGH的面積最大，最大值為

(a+b)2

8

（ⅱ）當(dāng)

a+b

4

＞b，x取b時，四邊形EFGH的面積最大，最大值為ab-b2

點評：本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．