Question

試比較2ⁿ與n²（n∈N^*）的大小關系，并用數學歸納法證明．

Answer 1

考點：數學歸納法

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：利用數學歸納法證明，①易驗證當n=5時不等式成立，②假設n=k（k≥5，k∈N^*成立），利用該歸納假設，取推證當n=k+1時，不等式也成立即可．

解答： 解：當n=1時，2ⁿ=2，n²=1，2ⁿ＞n²；
當n=2時，2ⁿ=4，n²=4，2ⁿ=n²；
當n=3時，2ⁿ=8，n²=9，2ⁿ＜n²；
當n=4時，2ⁿ=16，n²=16，2ⁿ=n²；
當n=5時，2ⁿ=32，n²=25，2ⁿ＞n²；
于是可猜測：2ⁿ＞n²（n≥5）．
證明：①當n=5時，均有2ⁿ＞n²，不等式成立；
②假設n=k（k≥5，k∈N^*）時不等式成立，即2^k＞k²；
則當n=k+1時，
左邊=2^k+1=2×2^k＞2k²，右邊=（k+1）²=k²+2k+1，
∵k≥5，2k²-（k²+2k+1）=k²-2k-1=（k-1）²-2＞0，
∴2k²＞（k+1）²，
即當n=k+1時，2^k+1＞（k+1）²，不等式成立；
綜上所述，2ⁿ＞n²（n≥5，n∈N^*）．

點評：本題考查數學歸納法，著重考查變形、推理與論證的能力，屬于難題．