Question

7．關(guān)于x的不等式ax²+2x-3a＞0在x∈（1，3）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1＜a＜1．

Answer 1

分析 分類(lèi)討論，分離參數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求最值，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：x=$\sqrt{3}$時(shí)，恒成立；
x∈（1，$\sqrt{3}$）時(shí)，a＜$\frac{-2x}{{x}^{2}-3}$，
令y=$\frac{-2x}{{x}^{2}-3}$，則y′=$\frac{-2（x+1）（x-3）}{（{x}^{2}-3）^{2}}$，
∵x∈（1，$\sqrt{3}$），∴y′＞0，
∴x∈（1，$\sqrt{3}$），函數(shù)單調(diào)遞增，∴a＜1；
x∈（$\sqrt{3}$，3）時(shí)，a＞$\frac{-2x}{{x}^{2}-3}$，
令y=$\frac{-2x}{{x}^{2}-3}$，則y′=$\frac{-2（x+1）（x-3）}{（{x}^{2}-3）^{2}}$，
∵x∈（$\sqrt{3}$，3），∴y′＞0，
∴x∈（$\sqrt{3}$，3），函數(shù)單調(diào)遞增，∴a＞-1，
綜上所述，-1＜a＜1．
故答案為：-1＜a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．